A nom d’Allah, le tout clément le très miséricordieux
بسم الله الرحمن الرحيم
Ça sera le premier sujet (en français) que je pose dans ce club, j’espère que ça vous fera plaisir .
Les mathématiques de ces jours …….. !!
Elles sont nées comment
David Hilbert, professeur à Göttingen, université où ont enseigné Gauss et Riemann,a apporté une contribution majeure à la plupart des domaines mathématiques, de ses classiques fondements de la géométrie (1899) jusqu’à l’ouvrage collectif Méthodes de la physique mathématique. À Göttingen, Hilbert présente une étude de 23 problèmes mathématiques, dont il pense qu’ils guideront les travaux du XXe siècle. Ils stimuleront, de fait, une grande partie de la recherche mathématique du XXe siècle.
mais la question la plus grande
Qui a ouvre la porte pour les mathématiques modernes et comment
Une relation entre la géométrie et l’analyse !!!……………………
voilà la répons
En 1902, dans sa thèse de doctorat intitulée Intégration, longueur, aire, Henri Lebesgue propose une théorie de l'intégration qui porte aujourd'hui son nom et qui a profondément modifie la notion d'intégrale. L'un des problèmes que résout Lebesgue à l'époque, de manière beaucoup plus complète que quiconque avant lui, est le problème de l'intégration des
fonctions d'une variable réelle, il s'agit pour Lebesgue de construire une classe de fonctions intégrables qui soit suffisamment large pour, d'une part, contenir des fonctions simples comme la fonction caractéristique des rationnels (que la théorie dont on disposait alors, la théorie de Riemann, ne permettait pas d'intégrer) et, d'autre part, être stable à la fois par les opérations arithmétiques élémentaires (somme et produit de fonctions intégrables) et par des passages à la limite suffisamment généraux (des limites simples de suites de fonctions plutôt que des limites uniformes) .
La grande nouveauté du point de vue de Lebesgue est de proposer de fonder l'intégration des fonctions sur la notion géométrique de mesure d'un ensemble.
Mais ce qui est extrêmement remarquable, c'est que la théorie de Lebesgue dépasse en réalité de beaucoup l'objectif que Lebesgue a voulu . Mais plus tard autres applications
à la théorie de Lebesgue ont été découvertes. l'intégrale de Lebesgue s'est presque immédiatement imposée comme un outil incontournable en analyse fonctionnelle. Riesz et Fischer se sont en effet simultanément aperçus, des 1907, que la théorie de Lebesgue pouvait être appliquée avec succès à la théorie des séries de Fourier. Le théorème de Riesz et Fischer montre que, si f est de carre Lebesgue-intégrable sur [0 ,2Pi ], la série de Fourier de f converge vers f dans l'espace des fonctions de carre Lebesgue-intégrable (on dit qu'elle converge en moyenne quadratique) et que, de surcroit, pour toute suite convergente, il existe une fonction f de carre Lebesgue-intégrable telle que (le point crucial pour démonter ce dernier résultat étant la complétude de l'espace des fonctions de carre Lebesgue-intégrable).
Riesz et Fischer ont déduit de leur théorème d'autres résultats tout aussi importants en analyse fonctionnelle, notamment la possibilité de représenter une forme linéaire continue sur les espaces de fonctions Lebesgue-intégrable a l'aide d'une expression intégrale. Ce résultat a alors contribue a l'émergence, une fois établies les bases de la topologie générale, d'un nouveau point de vue sur l'intégrale et sur Ia notion de mesure, appelé point de vue fonctionnel et développe, entre autres, par Radon et Daniell. Ce point de vue ne sera pas aborde dans cet ouvrage mais il est bon de savoir qu'il permet une autre construction de l'intégrale de Lebesgue, moins géométrique que celle fondée sur la notion de mesure ensembliste mais qui constitue par exemple une bonne introduction à la théorie des distributions.
Enfin, la théorie de la mesure fournit, depuis les travaux de Kolmogorov au début des années 1930, le cadre axiomatique moderne de la théorie des probabilités : les espaces probabilisés sont Ies espaces mesures de mesure finie égale a 1 et les variables aléatoires sont les applications mesurables définies sur ces espaces probabilisés…….
Merci beaucoup monsieur Lebesgue
Pour les Issaténs ou biens les uns qui sont intéressés par les mathématiques……..
Dans ce qui suit, nous présentons une construction de l'intégrale de Lebesgue a partir de la théorie ensembliste de la mesure.
Les classes de fonctions intégrables
-La vue de Riemann….
Dans le cas d'une partition de l'ensemble de départ, les fonctions les plus simples que l'on puisse imaginer sont celles qui sont constantes sur
chacun des intervalles de la partition, les fonctions en escalier. Pour définir la notion d'intégrale de Riemann, l'idée est de définir d'abord l'intégrale d'une fonction en escalier et d'approcher ensuite les fonctions que l'on souhaite intégrer par une suite convergente de fonctions en escalier
(la notion de somme de Riemann fournit un tel procédé d'approximation).
La vue de Lebesgue
Dans le cas d'une partition de l'espace d'arrivée, les fonctions les plus simples que l'on puisse imaginer sont celles qui ne prennent qu'un nombre fini de valeurs, les fonctions étagées. Lebesgue propose donc une notion d'intégrale pour les fonctions étagées et en déduit la notion générale d'intégrale par un procédé d' approximation.
C'est dans la définition de l'intégrale d'une fonction étagée qu'apparait la notion de mesure d'une partie de IR, afin d'affecter ce que l'on pourrait appeler un «poids» à l’inverse image de l'ensemble {Yi} où Yi est l'une des valeurs prises par f. Intuitivement, plus ce «poids» est grand, plus la
contribution» de Yi a l'intégrale de f est grand . Si l'on applique ce point de vue aux fonctions en escalier de la théorie de Riemann (qui sont des cas particuliers de fonctions étagées), on peux obtenir la même résultat !!
Alors c’était possible pour Lebesgue à définir une notion de mesure pour des parties de IR plus compliquées que des Riemanniens
Borel et Lebesgue ont compris, et ce fut un pas très important, qu'il ne fallait cependant pas espérer mesurer toutes les parties de IR mais
se limiter a une classe suffisamment large,(mais moi j'éspère que un(une)Issatén(éene) pourra le faire), celle obtenue à partir des intervalles ouverts par les opérations de passage au complémentaire et de réunion dénombrable. Cela a permis à Lebesgue de définir l'intégrale de Lebesgue d'une fonction étagée d'une façon qui généralise parfaitement l'intégrale de Riemann : non seulement les fonctions en escalier sont intégrables (et l'intégrale d'une telle fonction coïncide avec son intégrale de Riemann) mais les principales propriétés de l'intégrale (linéarité, positivité, relation de Chasles) restent vraies dans Ie cadre propose
par Lebesgue pour les fonctions étagées , il ne restait alors plus aLebesgue qu'a proposer un procède d'approximation permettant d'élargir la classe des fonctions intégrables. La où Riemann considérait les limites uniformes de fonctions en escalier, Lebesgue, lui, propose de considérer les limites simples de suites croissantes de fonctions étagées. Cette hypothèse de croissance est cruciale dans la théorie de Lebesgue, au moins dans la présentation que lui- même en donne. De la, Lebesgue élargit encore, cette fois par des procèdes algébriques simples, la classe des fonctions intégrables et il obtient les résultats souhaites.
merci beaucoup
s'il vous plaît, s'il y a des vocabulaires que vous n'arrivez pas à comprendre
dites-moi , je peux les expliquer
........................ A bientôt